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变分学基本定理

试卷现实生活中, 总是会碰到一些泛函上的最优化问题. 它们大多可以归为以下形式:

在函数集合

{x(t)  x(t1)=y1,x(t2)=y2,x(k)存在} \left\{ x(t) \ \Big| \ x(t_1) = y_1, x(t_2) = y_2, x^{(k)} 存在 \right\}

中, 求一个函数 x(t)x(t) 使得泛函 I[x()]I[x(\centerdot)] 的积分:

S=t1t2I[x,x,t] dx S = \int_{t_1}^{t_2} I[x, x’, t] \ \mathrm{d}x

有极值.