矢量运算与高阶线性结构的构造性定义
前言
上大学了, 终于有大段的时间来整理数学和物理学内容了.
本文有其思想上的参考: 3b1b: 发明新数学是怎样一种体验？
“最原始的"双线性二元运算
让我们来考虑矢量的运算吧!
假如我们需要在线性空间 $\mathbb{V}$ 上定义二元运算, 显然我们会希望这个运算至少是线性的, 否则为啥我们要在线性空间上搞呢. 同时如果一个二元运算是双线性的(就是说对于两个操作数而言它都是线性的), 那么我们只需要对 $\mathbb{V}$ 的基底定义此运算即可.
换句话说, 对于双线性运算 $\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}$, 我们可以将其按基底展开:
$$ \begin{aligned} \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} &= (\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{e_i}) \otimes (\sum_{i=1}^n b_i \mathbf{e_i}) \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i b_j (\mathbf{e_i} \otimes \mathbf{e_j}) \end{aligned} $$
那么, 我们只需要定义所有的 $\mathbf{e_i} \otimes \mathbf{e_j}$ (一共 $n^2$ 个) 即可.
等等, 这都啥跟啥啊????